神经网络中常见的损失函数
损失函数用来评价模型的预测值和真实值不一样的程度，损失函数越好，通常模型的性能越好。不同的模型用的损失函数一般也不一样。
损失函数分为经验风险损失函数和结构风险损失函数
。经验风险损失函数指预测结果和实际结果的差别，结构风险损失函数是指经验风险损失函数加上正则项。一般用于防止过拟合，模型越复杂，其正则项的值就越大，相应的结构化风险损失函数的值就越大，相应的损失就越大。
常见的损失函数以及其优缺点如下：
0-1 损失函数(Zero-One Loss)
0-1损失是指预测值和目标值不相等为1， 否则为0:
$$
L ( Y , f ( X ) ) = \left \lbrace
\begin{align}
1 , & \qquad Y \neq f ( X ) \\
0 , & \qquad Y = f ( X )
\end{align}
\right.
$$
特点：
(1)0-1 损失函数直接对应分类判断错误的个数，但是它是一个非凸函数，不太适用.
(2)感知机就是用的这种损失函数。但是相等这个条件太过严格，因此可以放宽条件，即满足$|Y - f(x)| < T$时认为相等，
$$
L ( Y , f ( X ) ) = \left \lbrace
\begin{align}
1 , & \qquad | Y - f ( X ) | \ge T \\
0 , & \qquad| Y - f ( X ) | < T
\end{align}
\right.
$$
绝对值损失函数
绝对值损失函数是计算预测值与目标值的差的绝对值：
$$
L(Y, f(x)) = |Y - f(x)|
$$
log 对数损失函数
log 对数损失函数的标准形式如下：
$$
L(Y, P(Y|X)) = -\log P(Y|X)
$$
特点：
- log 对数损失函数能非常好的表征概率分布，在很多场景尤其是多分类，如果需要知道结果属于每个类别的置信度，那它非常适合。
- 健壮性不强，相比于 hinge loss 对噪声更敏感。
- 逻辑回归的损失函数就是 log 对数损失函数。
平方损失函数
平方损失函数标准形式如下，经常应用与回归问题。
$$
L ( Y | f ( X ) ) = \sum _ { N } ( Y - f ( X ) ) ^ { 2 }
$$
指数损失函数（exponential loss）
指数损失函数的标准形式如下,对离群点、噪声非常敏感。经常用在 AdaBoost 算法中。
$$
L(Y|f(X)) = \exp[-yf(x)]
$$
Hinge 损失函数
Hinge 损失函数标准形式如下：
$$
L(y, f(x)) = \max(0, 1-yf(x))
$$
特点：
- hinge 损失函数表示如果被分类正确，损失为 0，否则损失就为$1-yf(x)$ 。
SVM就是使用这个损失函数。 - 一般的 [公式] 是预测值，在-1 到 1 之间，$y$ 是目标值(-1 或 1)。其含义是，$f(x)$的值在-1 和+1 之间就可以了，并不鼓励 $|f(
x)| > 1$，即并不鼓励分类器过度自信，让某个正确分类的样本距离分割线超过 1 并不会有任何奖励，从而使分类器可以更专注于整体的误差。 - 健壮性相对较高，对异常点、噪声不敏感，但它没太好的概率解释。
感知损失(perceptron loss)函数
感知损失函数的标准形式如下：
$$
L(y, f(x)) = max(0, -f(x))
$$
特点：
是 Hinge 损失函数的一个变种，Hinge loss 对判定边界附近的点(正确端)惩罚力度很高。而 perceptron loss
只要样本的判定类别正确的话，它就满意，不管其判定边界的距离。它比 Hinge loss 简单，因为不是 max-margin boundary，所以模型的泛化能力没
hinge loss 强。
交叉熵损失函数 (Cross-entropy loss function)
交叉熵损失函数的标准形式如下**:**
$$
C = - \frac { 1 } { n } \sum _ { x } [ y \ln a + ( 1 - y ) \ln ( 1 - a ) ]
$$
注意公式中$x$表示样本， $y$表示实际的标签，$a$表示预测的输出，$n$表示样本总数量。
特点：
- 本质上也是一种对数似然函数，可用于二分类和多分类任务中。
- 二分类问题中的 loss 函数（输入数据是 softmax 或者 sigmoid 函数的输出）：
$$
loss = - \frac { 1 } { n } \sum _ { x } [ y \ln a + ( 1 - y ) \ln ( 1 - a ) ]
$$
- 多分类问题中的 loss 函数（输入数据是 softmax 或者 sigmoid 函数的输出）：
$$
loss = - \frac{1}{n} \sum_i y_i \ln a_i
$$
- 当使用 sigmoid 作为激活函数的时候，常用交叉熵损失函数而不用均方误差损失函数，因为它可以完美解决平方损失函数权重更新过慢的问题，具有“误差大的时候，权重更新快；误差小的时候，权重更新慢”的良好性质。
神经网络中常见的损失函数
