深度学习的数学知识-微积分相关概念
本文主要记录我在学习机器学习过程中对梯度概念复习的笔记，主要参考《高等数学》《简明微积分》以及维基百科上的资料为主，文章小节安排如下：
1）导数 2）导数和偏导数 3）导数与方向导数 4）导数与梯度 5）梯度下降法
导数
导数的定义：
$$
f’(x) = \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to0} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(
x_0)}{\Delta x}
\tag{1}
$$
反映的是函数$y=f(x)$在某一点处沿x轴正方向的变化率。再强调一遍，是函数$f(x)$在x轴上某一点处沿着$x$轴正方向
的变化率/变化趋势。直观地看，也就是在$x$轴上某一点处，如果$f’(x)>0$，说明$f(x)
$的函数值在$x$点沿$x$轴正方向是趋于增加的，也就是$x$与$y$是正相关；如果$f’(x)<0$，说明$f(x)
$的函数值在$x$点沿$x$轴正方向是趋于减少的，也就是$x$与$y$是负相关。
这里补充上图中的Δy、dy等符号的意义及关系如下：
- $\Delta x$：$x$的变化量；
- $dx$：$x$的变化量$Δx$趋于0时，则记作微元$dx$；
- $Δy$：$Δy=f(x_0+Δx)-f(x_0)$，是函数的增量；
- $dy$：$dy=f’(x_0)dx$，是切线的增量；
当$Δx→0$时，$dy$与$Δy$都是无穷小，$dy$是$Δy$的主部，即$Δy=dy+o(Δx)$.
导数和偏导数
偏导数的定义如下：
$$
\frac{\partial}{\partial x_j}f(x_0, x_1, \dots, x_n)
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}
= \lim_{\Delta x\to0} \frac{f(x_0,\dots, x_j+\Delta x, \dots ,x_n) - f(x_0, \dots , x_j, \dots, x_n)}{\Delta x}
\tag{2}
$$
可以看到，导数与偏导数本质是一致的，都是当自变量的变化量趋于0时，函数值的变化量与自变量变化量比值的极限。直观地说，偏导数也就是函数在某一点上沿坐标轴正方向的的变化率，如果有多个元，则坐标轴也有多个。
区别在于：
- 导数，指的是一元函数中，函数$y=f(x)$在某一点处沿$x$轴正方向的变化率；
- 偏导数，指的是多元函数中，函数$y=f(x_1,x_2,…,x_n)$在某一点处沿某一坐标轴$（x1,x2,…,xn）$正方向的变化率。
导数与方向导数：
方向导数的定义如下：
$$
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial l}f(x_0, \dots, x_n) &= \lim_{\rho \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \\
&= \lim_{\rho \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x_0, \dots, x_j+\Delta x_j, \dots, x_n+\Delta x_n) - f(x_0, \dots, x_j, \dots,
x_n)}{\rho} \\
其中： \rho &= \sqrt{(\Delta x_0)^2 + \dots + (\Delta x_j)^2 + \dots + (\Delta x_n)^2}
\end{align}
\tag{3}
$$
在前面导数和偏导数的定义中，均是沿坐标轴正方向讨论函数的变化率。那么当我们讨论函数沿任意方向的变化率时，也就引出了方向导数的定义，即：某一点在某一趋近方向上的导数值。
通俗的解释是：
我们不仅要知道函数在坐标轴正方向上的变化率（即偏导数），而且还要设法求得函数在其他特定方向上的变化率。而方向导数就是函数在其他特定方向上的变化率。
导数与梯度
梯度的定义如下：
$$
grad\ f(x_0, x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_0},\dots, \frac{\partial f}{\partial x_,}, \dots,
\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)
\tag{4}
$$
梯度的提出只为回答一个问题：
函数在变量空间的某一点处，沿着哪一个方向有最大的变化率？
梯度定义如下：
函数在某一点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。
这里注意三点：
- 梯度是一个向量，即有方向有大小；
- 梯度的方向是最大方向导数的方向；
- 梯度的值是最大方向导数的值。
导数与向量
提问：导数与偏导数与方向导数是向量么？
向量的定义是有方向$（direction）$有大小$（magnitude）$的量。
从前面的定义可以这样看出，偏导数和方向导数表达的是函数在某一点沿某一方向的变化率，也是具有方向和大小的。因此从这个角度来理解，我们也可以把偏导数和方向导数看作是一个向量，向量的方向就是变化率的方向，向量的模，就是变化率的大小。
那么沿着这样一种思路，就可以如下理解梯度：
梯度即函数在某一点最大的方向导数，函数沿梯度方向函数有最大的变化率。
梯度下降法
既然在变量空间的某一点处，函数沿梯度方向具有最大的变化率，那么在优化目标函数的时候，自然是沿着负梯度方向
去减小函数值，以此达到我们的优化目标。
如何沿着负梯度方向减小函数值呢？既然梯度是偏导数的集合，如下：
$$
grad\ f(x_0, x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_0}, \frac{\partial f}{\partial x_1,}, \dots,
\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)
\tag{5}
$$
同时梯度和偏导数都是向量，那么参考向量运算法则，我们在每个变量轴上减小对应变量值即可，梯度下降法可以描述如下：
$$
\begin{align}
Repeat \quad \lbrace \\
x_0 & := x_0 - \alpha \frac{\partial f}{\partial x_0} \\
\vdots \\
x_j & := x_j - \alpha \frac{\partial f}{\partial x_j} \\
\vdots \\
x_n & := x_n - \alpha \frac{\partial f}{\partial x_n} \\
\rbrace
\end{align}
\tag{6}
$$
其中：
$\alpha$ 是步长，也就是学习速度。
$:=$ 是赋值操作。
以上就是梯度下降法的由来，大部分的机器学习任务，都可以利用$Gradient\ Descent$来进行优化。
深度学习的数学知识-微积分相关概念
