联合概率,条件概率和编辑概率的概念

联合概率,条件概率和编辑概率的概念

离散分布

对于离散分布来说,联合概率、编辑概率的解释如下表所示:

$Y$↓ / $X$ → $X_1$ $X_2$ $X_3$ $X_4$ $P_Y(Y)$
$Y_1$ $\frac{4}{32}$ $\frac{2}{32}$ $\frac{1}{32}$ $\frac{1}{32}$ $\frac{8}{32}$
$Y_1$ $\frac{2}{32}$ $\frac{4}{32}$ $\frac{1}{32}$ $\frac{1}{32}$ $\frac{8}{32}$
$Y_1$ $\frac{2}{32}$ $\frac{2}{32}$ $\frac{2}{32}$ $\frac{2}{32}$ $\frac{8}{32}$
$Y_1$ $\frac{8}{32}$ $0$ $0$ $0$ $\frac{8}{32}$
$P_x(X)$ → $\frac{16}{32}$ $\frac{8}{32}$ $\frac{4}{32}$ $\frac{4}{32}$ $\frac{32}{32}$

在这个表格中,单元格内$\left[ 2,2 \right]$到$\left[ 5,5 \right]$共16个概率值,为$X,Y$的联合概率分布,第6列,$P_Y(Y)
$为$Y$的边际概率,第6列,$P_X(X)$为$X$的边际概率。

联合概率的意义为:

在两个互不独立(相关)的随机事件,一个发生时,另一个发生的概率。

联合概率、边际概率、条件概率的关系:

$$
P(X=x) = \sum_y P(X=x, Y=y) = \sum_y P(X=x | Y=y)P(Y=y)
\tag{1}
$$

条件概率的公式如下:
$$
P(X=x|Y=y) = \frac{P(X=x,Y=y)}{P(Y=y)}
\tag{2}
$$

连续分布

将离散分布中的求和符号$\sum$换为积分符号$\int$即可:
$$
P(X=x) = \int_y P(x=x,Y=y) = \int_y P(X=x|Y=y)P(Y=y)
\tag{3}
$$

结论

不管是离散分布还是连续分布,都有:
$$
\sum_x \sum_y P(X=x, Y=y) = 1
\tag{4}
$$

$$
\int_x \int_y P(X=x, Y=y) = 1
$$

联合概率,条件概率和编辑概率的概念

https://www.borgor.cn/posts/2b750510.html

作者

Cyrusky

发布于

2019-10-09

更新于

2024-11-18

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