感知机模型( Perceptron Learning Algorithm )的基础属性

贝叶斯判定准则

贝叶斯判定该准则被描述为：为了最小化总体风险，只需要在每个样本上选择那个能使条件风险$R(c|x)$最小的类别标记，即：

$$
h^\star (x) = \arg\min_{c \in \mathcal{Y}} R(c | x)
\tag{1}
$$

此时，$h^\star$称作贝叶斯最优分类器。

注：此时的$h^\star$并不是一个可以计算的值，只是一个贝叶斯最优分类器的理论指导。

拉格朗日函数的介绍

优化问题的一般形式

形式一：

$$
\begin{align}
\min_x \quad & f_0(x) \\
s.t.\quad & f_i(x) \le 0 , \quad i = 1,\dots,m \\
& h_i(x) = 0, \quad i = 1,\dots,p
\end{align}
\tag{1}
$$

欧式空间平面的常见性质

证明$\omega$是平面的法向量

$$
\left \lbrace
\begin{matrix}
\omega^T\mathcal{x_1} + b = 0 \\
\omega^T \mathcal{x_2} + b = 0
\end{matrix}
\right .
\to \omega^T(\mathcal{x_1} - \mathcal{x_2}) = 0 \to \omega^T \mathcal{x} = 0
\tag{1}
$$

熵

熵（Entropy），在本文中是指信息熵（Information Entropy），简单的来说，就是指一件事情的不确定性的度量，其单位为（Bit）。相对的，信息的单位也是 Bit，刚好是信息熵的反义词，是指一件事情的确定性。

首先，引入熵的计算公式：

$$
Ent(D) = - \sum_k^{| \mathcal{Y} |} P_k log_2{P_k}
\tag{1}
$$

数据集：

$$
D = \lbrace (x_1, y_1),(x_2, y_2),\dots,(x_n, y_n) \rbrace \\
x \in \mathbb{R}^p; y \in \mathbb{R}
\tag{1}
$$

其中，每一个$x$都是一个$p$维的列向量，$y$ 是一个数。

高斯分布

高斯分布的概率密度函数

$$
f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^ {-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}
\tag{1}
$$

奇异值分解的原理

特征值和特征向量

特征值和特征向量的定义如下：

$$
Ax = \lambda x
\tag{1}
$$

其中，$\lambda$是一个标量，$x$是一个向量，$\lambda$称作矩阵$A$的特征值，$x$是其对应的特征向量。

求得所有特征值和特征向量后，我们就可以对矩阵 A 进行特征分解。具体如下：

$$
A = W \Sigma W^{-1}
\tag{2}
$$

其中，$W$是由$A$的所有特征向量组成的$n\times n$维矩阵。$\Sigma$是以$A$的所有特征值$\lambda_1,\lambda_2,\dots, \lambda_n$为对角线的对角矩阵。我们一般会把$W$的这$n$个特征向量标准化，即满足$||w_i|| = 1$或者$w_i^T \cdot w_i = w_i^T w_i=1$，此时，$W$的$n$个向量为标准正交基。

故：

$$
W^{-1} = W^T
\tag{3}
$$

这样我们的特征分解表达式可以写成

$$
A = W \Sigma W^T
\tag{4}
$$